第161回数検１級二次問題１

【問題】
$n$ を２以上の整数とするとき、分数
$\frac{15n+2}{14n+3}$
が可約分数となるような $n$ の一般形を求めなさい。
また、そのときこの分数を約分して既約分数とした分数を求めなさい。

【解答】
与えられた分数が可約分数であるから、その分母、分子の公約数を $k$ とすると、ある正の整数 $m,l$ を用いて、
$15n+2=km$ 、 $14n+3=kl$
と書ける。この２式より、
$n=k(m-l)+1$
が得られるから、これを与えられた分数に代入すると、
$\begin{eqnarray*}\frac{15n+2}{14n+3} &=& \frac{15(k(m-l)+1)+2}{14(k(m-l)+1)+3} \\ &=& \frac{15k(m-l)+17}{14k(m-l)+17} \end{eqnarray*}$
したがって、 $k$ が17の倍数なら、与えられた分数は可約分数である。
よって、 $n=17m+1$ （ $m$ は１以上の整数）である。・・・（答え）
これを与えられた分数に代入すると、
$\begin{eqnarray*}\frac{15n+2}{14n+3} &=& \frac{15(17m+1)+2}{14(17m+1)+3} \\ &=& \frac{17(15m+1)}{17(14m+1)} \\ &=& \frac{15m+1}{14m+1} \end{eqnarray*}$ ・・・（答え）

（追記）
$\frac{15m+1}{14m+1}$ が既約分数であることを示しておかなければならない。
背理法により示す。もし $\frac{15m+1}{14m+1}$ が可約分数であるとすると、
$15m+1$ と $14m+1$ の最大公約数を $k$ として、整数 $l,l'$ を用いて、
$15m+1=kl$ 、 $14m+1=kl'$ と書ける。この２式より
$m=k(l-l')$ であるから、
$\begin{eqnarray*}\frac{l}{l'} &=& \frac{15m+1}{14m+1} \\ &=& \frac{15k(l-l')+1}{14k(l-l')+1} \end{eqnarray*}$
これより、
$14k(l-l')+l=15kl'(l-l')+l'$
$(14kl+1)(l-l')=15kl'(l-l')$
$15m+1 \neq 14m+1$ であるから、 $l \neq l'$ 。したがって、上式の両辺を $l-l'$ で割ることができて、
$14kl+1=15kl'$
を得る。この右辺は $k$ の倍数であるが、左辺はそうではない。これは矛盾である。
したがって $\frac{15m+1}{14m+1}$ は既約分数である。

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