【問題】 を２以上の整数とするとき、分数 が可約分数となるようなの一般形を求めなさい。 また、そのときこの分数を約分して既約分数とした分数を求めなさい。【解答】 与えられた分数が可約分数であるから、その分母、分子の公約数をとすると、ある正の整…

【問題】 次の行列の階数（rank）を求めなさい。 【解答】 行列を次のように変形する。 よって、なら、なら ■

【問題】 をの虚数解の１つとするとき、次の行列式の２乗の値は？ 【解答】 なる式を元に、行列式を変形する。 ■

【問題】 を求めよ。 【解答】 ■

【問題】 次の連立方程式の実数解を求めよ。 【解答】 答えは ■

【問題】 における微分方程式 を満たし、２点境界条件,を満たす解を求めなさい。 【解答】 とすると、であり、 境界条件は満たすが、なので、は満たさない。 そこでとしてみる。 であり、であるから、とすればよい。 答えは、 ■ 最近、はてなDiaryのmimeTeX…

【問題】 ４次方程式の実数解と虚数解を求める。 【解答】 この解答は、http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htmを参考にしています。一般に４次方程式に対して、を ４次方程式の分解方程式という。このような解があれば、 となるが存在…

【問題】 Let V be the set of all the 8-dimensional vectors with integers components,whose sum is zero and the sum of their squares is 8. （１）How many vectors are included in V such that all the components are even? （２）How many vectors…

【問題】 のとき、の値を求めなさい。【解答】 の両辺を２乗すると、 だから、 これを用いると、 ■

【問題】 を小数で表したとき、一の位、すなわち小数点のすぐ上の桁の数字を求めなさい。【解答】 何かいい求め方があるのかもしれないが、わからなかった。素直に筆算で計算した。 だから、答えは。 もし問題がの一の位なんていわれたら、この筆算はやる気…

【問題】 を、実数係数の多項式の範囲で因数分解しなさい。【解答】 方程式は実数解を持たないから、 実数係数の範囲内でこれ以上は因数分解できない。 ■

【問題】 Find the following indefinite integral. 【解答】 ■

【問題】 Find the limit value of the following. 【解答】 とおいて、ロピタルの定理を2回適用する。

【問題】 Find all the positive integral solutions(x,y) of the indefinite equation 【解答】 与えられた方程式を次のように変形する。 ・・・(1) は正の整数であるから、次の4通りのいずれかである。 , , , , それぞれの場合を解くと、 , , , , とも正で…

【問題】 が定まった正の整数であるとき、次の連立方程式を解きなさい。 ... ... 【解答】 個の式を全部足し合わせると、 ゆえに ・・・(1) 連立方程式の1行目の式より(1)式を引くと、 ・・・(2) 連立方程式の2行目の式より(2)式を引くと、 ゆえに したがっ…

【問題】 が素数のとき、の倍数でない整数に対して、はで割り切れます。 さて、は素数です。をで割った余りを、上の定理を活用して計算しなさい。【解答】 上の定理より、はで割り切れるので、ある整数を使って、 ・・・(1) と書ける。 さて、求める余りをと…