数検１級一次過去問（３）

【問題】
Find all the positive integral solutions(x,y) of the indefinite equation
　　 $2xy-2y^2+15y-9x=30$

【解答】
与えられた方程式を次のように変形する。
　　 $(x-y+3)(2y-9)=3$ 　　　・・・(1)
$x,y$ は正の整数であるから、次の4通りのいずれかである。
　　 $x-y+3=3$ , $2y-9=1$
　　 $x-y+3=1$ , $2y-9=3$
　　 $x-y+3=-3$ , $2y-9=-1$
　　 $x-y+3=-1$ , $2y-9=-3$
それぞれの場合を解くと、
　　 $x=5$ , $y=5$
　　 $x=4$ , $y=5$
　　 $x=-2$ , $y=4$
　　 $x=-1$ , $y=3$
$x,y$ とも正であることから、上の2つが解である。

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ところで、(1)式は、次のようにして求めた。
元の式の左辺が $(ax+by+c)(dy+e)$ と書けたとすると、それを展開した式
　　 $adxy+aex+bdy^2+(be+cd)y+ce$
と、元の方程式の左辺と係数を比較すると、
　　 $ad=2 , ae=-9 , bd=-2 , be+cd=15$
これから、係数の1つとして、 $a=1 , d=2 , e=-9 , b=-1$ が出る。これを
$be+cd=15$ に代入して、 $c=3$ 。したがって
　　 $2xy-9x-2y^2+15y-27$
となるが、これはもとの方程式の左辺と定数部分だけ異なる。それを補正すると、
(1)式になる。
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