数検１級一次過去問（２）

【問題】
$n$ が定まった正の整数であるとき、次の連立方程式を解きなさい。
$x_1+2x_2+3x_3+...+(n-1)x_{n-1}+nx_n = 1$
$x_2+2x_3+3x_4+...+(n-1)x_n+nx_1 = 2$
$x_3+2x_4+3x_5+...+(n-1)x_1+nx_2 = 3$
...
$x_k+2x_{k+1}+...+(n-k+1)x_n+(n-k+2)x_1+...+nx_{k-1} = k$
...
$x_n+2x_1+3x_2+...+(n-1)x_{n-2}+nx_{n-1} = n$
【解答】
$n$ 個の式を全部足し合わせると、
$\sum_{i=1}^nx_i + 2(\sum_{i=1}^nx_i)+3(\sum_{i=1}^nx_i)+...+n(\sum_{i=1}^nx_i) = \sum_{i=1}^ni$
$(\sum_{i=1}^nx_i)(1+2+...+n) = (1+2+...+n)$
ゆえに
$\sum_{i=1}^nx_i = 1$ ・・・(1)
連立方程式の1行目の式より(1)式を引くと、
$x_2+2x_3+...+(n-1)x_n = 0$ ・・・(2)
連立方程式の2行目の式より(2)式を引くと、
$nx_1 = 2$
ゆえに
$n_1 = \frac2n$
したがって
$x_2+x_3+...+x_n = 1 - \frac 2n$ ・・・(3)
(2)式より(3)式を引くと、
$x_3+2x_4+...+(n-2)x_n = \frac 2n - 1$ ・・・(4)
連立方程式の2行目の式
$(n-1)x_1+nx_2+x_3+2x_4+...+(n-2)x_n = 3$
より(4)式を引くと、
$(n-1)x_1+nx_2 = 4 - \frac2n$
先で求めた $x_1$ を代入すると、
$x_2 = \frac2n$
同様にして $x_{n-1} = \frac2n$ までを求める。
最後の $x_n$ は、(1)式より、
$x_n = 1-x_1-x_2-...-x_{n-1} = 1 - \frac{2(n-1)}n = \frac2n - 1$
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