数検１級一次過去問（９）

【問題】
Let V be the set of all the 8-dimensional vectors with integers components,whose sum is zero and the sum of their squares is 8.
（１）How many vectors are included in V such that all the components are even?
（２）How many vectors are included in V such that all the components are odd?

【解答】
（１）偶数の2乗である8つの数で、それらの和が8になるのは、
　　　 $4,4,0,0,0,0,0,0$
　　　のみである。すると、2乗する前の8つの数は、それらの和が0になることを考えると
　　　 $2,-2,0,0,0,0,0,0$
　　　である。この8つの数のすべての並べ方の総数が求めるベクトルの個数であるから、
　　　 $_8P_2=56$

（２）奇数の2乗である8つの数で、それらの和が8になるのは、
　　　 $1,1,1,1,1,1,1,1$
　　　のみである。すると、2乗する前の8つの数は、それらの和が0になることを考えると
　　　 $1$ と $-1$ が同数（4つずつ）ある。したがってその個数は
　　　 $_8C_4=70$
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