第161回数検１級一次問題５

【問題】
４次方程式 $x^4-4x-1=0$ の実数解と虚数解を求める。
【解答】
この解答は、http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htmを参考にしています。

一般に４次方程式 $x^4+px^2+qx+r=0$ に対して、 $q^2-4(2\lambda-p)(\lambda^2-r)=0$ を
４次方程式の分解方程式という。このような解 $\lambda$ があれば、
$(x^2+\lambda)^2=x^4+2\lambda x^2+\lambda^2=(2\lambda-p)x^2-qx+\lambda^2-r=(mx+n)^2$
となる $m,n$ が存在し、４次方程式は２つの２次方程式の問題に帰着する。

与えられた４次方程式をこの分解方程式に当てはめると、
$(-4)^2-4(2\lambda-0)(\lambda^2+1)=16-8\lambda(\lambda^2+1)=0$
$2-\lambda(\lambda^2+1)=0$
$\lambda^3+\lambda-2=0$
$(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+2)=0$
分解方程式の解の１つが $\lambda=1$ であるから、
$(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$
　　　　　　 $=(4x+1)+2x^2+1$ （元の４次方程式より）
　　　　　　 $=2(x+1)^2$
$x^2+1=\pm\sqrt{2}(x+1)$
よって次の２次方程式に帰着される。
$x^2\mp\sqrt{2}x$ $+(1\mp\sqrt{2})=0$
複号のマイナス側から実数解が求まる。
$x^2-\sqrt{2}x$ $+(1-\sqrt{2})=0$
$x=\frac{1}{2}$ $(\sqrt{2\pm\sqrt{2-4(1-\sqrt{2})})$
　　 $=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $(1\pm\sqrt{(2\sqrt{2}-1)})$
複号のプラス側から虚数解が求まる。
$x^2+\sqrt{2}x$ $+(1+\sqrt{2})=0$
$x=\frac{1}{2}$ $(- \sqrt{2}\pm\sqrt{2-4(1+\sqrt{2}))$
　　 $=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $(1\mp\sqrt{1+2\sqrt{2}}i)$

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