2008-10-05

数検１級一次過去問（９）

【問題】
Let V be the set of all the 8-dimensional vectors with integers components,whose sum is zero and the sum of their squares is 8.
（１）How many vectors are included in V such that all the components are even?
（２）How many vectors are included in V such that all the components are odd?

【解答】
（１）偶数の2乗である8つの数で、それらの和が8になるのは、
　　　 $4,4,0,0,0,0,0,0$
　　　のみである。すると、2乗する前の8つの数は、それらの和が0になることを考えると
　　　 $2,-2,0,0,0,0,0,0$
　　　である。この8つの数のすべての並べ方の総数が求めるベクトルの個数であるから、
　　　 $_8P_2=56$

（２）奇数の2乗である8つの数で、それらの和が8になるのは、
　　　 $1,1,1,1,1,1,1,1$
　　　のみである。すると、2乗する前の8つの数は、それらの和が0になることを考えると
　　　 $1$ と $-1$ が同数（4つずつ）ある。したがってその個数は
　　　 $_8C_4=70$
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2008-09-26

数検１級一次過去問（８）

【問題】
$\sin\theta+\cos\theta=\frac12$ のとき、 $\tan\theta+\frac1{\tan\theta}$ の値を求めなさい。

【解答】
$sin\theta+cos\theta=\frac12$ の両辺を２乗すると、
$sin^2\theta+2sin\theta cos\theta+cos^2\theta=\frac14$
$sin^2\theta+cos^2\theta=1$ だから、
$sin\theta cos\theta=-\frac38$
これを用いると、
$tan\theta+\frac1{tan\theta}=\frac{sin\theta}{cos\theta}+\frac{cos\theta}{sin\theta}$
$=\frac{sin^2\theta+cos^2\theta}{sin\theta cos\theta}$
$=\frac1{-\frac38}$
$=-\frac83$
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2008-09-20

数検１級一次過去問（７）

【問題】
$\frac{10^{30}}{1002}$ を小数で表したとき、一の位、すなわち小数点のすぐ上の桁の数字を求めなさい。

【解答】
何かいい求め方があるのかもしれないが、わからなかった。素直に筆算で計算した。
$\frac{10^{30}}{1002}=998003992015968038722554889.\dots$
だから、答えは $9$ 。
もし問題が $\frac{10^{1000}}{1002}$ の一の位なんていわれたら、この筆算はやる気がしない。

2008-09-17

数検１級一次過去問（６）

【問題】
$(x-1)^7-(x^7-1)$ を、実数係数の多項式の範囲で因数分解しなさい。

【解答】
$(x-1)^7-(x^7-1)$
$=(x-1)\{(x-1)^6-(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\}$
$=(x-1)(-7x^5+14x^4-21x^3+14x^2-7x)$
$=-7x(x-1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)$
$=-7x^3(x-1)\{(x^2+\frac1{x^2})-2(x+\frac1x)+3\}$
$=-7x^3(x-1)\{(x+\frac1x)^2-2(x+\frac1x)+1\}$
$=-7x^3(x-1)(x+\frac1x-1)^2$
$=-7x(x-1)(x^2-x+1)^2$

方程式 $x^2-x+1=0$ は実数解を持たないから、
実数係数の範囲内でこれ以上は因数分解できない。
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2008-09-16

数検１級一次過去問（５）

【問題】
Find the following indefinite integral.
　　 $\int sin^4xdx$

【解答】
　　 $\int sin^4xdx = \int sin^2x(1-cos^2x)dx$
　　　　　　　　　　 $=\int sin^2xdx - \int sin^2xcos^2xdx$
　　　　　　　　　　 $=\frac12\int(1-cos2x)dx - \frac14\int(1-cos2x)(1+cos2x)dx$
　　　　　　　　　　 $=\frac12(x-\frac12sin2x) - \frac14\int(1-cos^22x)dx$
　　　　　　　　　　 $=\frac12(x-\frac12sin2x) - \frac14\int(1-\frac{1+cos4x}2)dx$
　　　　　　　　　　 $=\frac12(x-\frac12sin2x) - \frac14x + \frac18\int(1+cos4x)dx$
　　　　　　　　　　 $=\frac12(x-\frac12sin2x) - \frac14x + \frac18(x+\frac14sin4x) + C$
　　　　　　　　　　 $=\frac38x-\frac14sin2x + \frac1{32}sin4x + C$
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2008-09-15

数検１級一次過去問（４）

【問題】
Find the limit value of the following.
　　 $\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x}-e^{2x}-x}{x^2}$

【解答】
$y=e^x$ とおいて、ロピタルの定理を2回適用する。
　　 $\lim_{y \to 1}\frac{y^3-y^2-logy}{(logy)^2}$
　　 $=\lim_{y \to 1}\frac{3y^2-2y-\frac1y}{\frac2ylogy$
　　 $=\lim_{y \to 1}\frac{3y^3-2y^2-1}{2logy}$
　　 $=\lim_{y \to 1}\frac{9y^2-4y}{\frac2y}$
　　 $=\frac52$

2008-09-14

数検１級一次過去問（３）

【問題】
Find all the positive integral solutions(x,y) of the indefinite equation
　　 $2xy-2y^2+15y-9x=30$

【解答】
与えられた方程式を次のように変形する。
　　 $(x-y+3)(2y-9)=3$ 　　　・・・(1)
$x,y$ は正の整数であるから、次の4通りのいずれかである。
　　 $x-y+3=3$ , $2y-9=1$
　　 $x-y+3=1$ , $2y-9=3$
　　 $x-y+3=-3$ , $2y-9=-1$
　　 $x-y+3=-1$ , $2y-9=-3$
それぞれの場合を解くと、
　　 $x=5$ , $y=5$
　　 $x=4$ , $y=5$
　　 $x=-2$ , $y=4$
　　 $x=-1$ , $y=3$
$x,y$ とも正であることから、上の2つが解である。

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ところで、(1)式は、次のようにして求めた。
元の式の左辺が $(ax+by+c)(dy+e)$ と書けたとすると、それを展開した式
　　 $adxy+aex+bdy^2+(be+cd)y+ce$
と、元の方程式の左辺と係数を比較すると、
　　 $ad=2 , ae=-9 , bd=-2 , be+cd=15$
これから、係数の1つとして、 $a=1 , d=2 , e=-9 , b=-1$ が出る。これを
$be+cd=15$ に代入して、 $c=3$ 。したがって
　　 $2xy-9x-2y^2+15y-27$
となるが、これはもとの方程式の左辺と定数部分だけ異なる。それを補正すると、
(1)式になる。
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